1) Soit
l'équation
avec a paramètre strictement positif.
Dans
, l'ensemble
des solutions de
vérifie :
A. Pour
,
Dans
, pour
,
donc
est la seule solution de
.
B. Pour
,
Le réel
est solution donc
n'est pas égal à l'ensemble vide.
C. Pour
,
admet deux éléments
Pour
, dans
,
L'étude des variations de la fonction
définie par
donne :
d'où d'après le tableau de variation de
, l'équation
admet (conséquence du théorème des valeurs intermédiaires), une solution unique dans
et une solution unique dans
donc
admet deux éléments.
D. Pour
,
admet un seul élément
Pour
, dans
,
(voir démarche au C).
D'après l'étude des variations de la fonction (voir proposition C),
donc l'équation
admet une seule solution dans et aucune dans
. L'ensemble
a donc un seul élément qui est
.