A. Pour ,

Dans , pour ,

donc est la seule solution de .

B. Pour ,

Le réel est solution donc n'est pas égal à l'ensemble vide.

C. Pour , admet deux éléments

Pour , dans ,

L'étude des variations de la fonction définie par donne :

Tableau de variation de f

d'où d'après le tableau de variation de , l'équation admet (conséquence du théorème des valeurs intermédiaires), une solution unique dans et une solution unique dans donc admet deux éléments.

D. Pour , admet un seul élément

Pour , dans , (voir démarche au C).

D'après l'étude des variations de la fonction (voir proposition C), donc l'équation admet une seule solution dans et aucune dans . L'ensemble a donc un seul élément qui est .