2) et
sont deux cercles de centres
et
, et de rayons
et
,
.
et
ont deux points d'intersection distincts
et
.
On appelle
la similitude de centre
transformant
en
. On pose
, et pour tout point
de
,
.
A.
La similitude de centre
transformant
en
a pour rapport
et transforme
en
. L'angle de la similitude est l'angle
qui n'est pas un angle droit, sauf cas particulier.
B.
La similitude directe
transforme
en
,
en
, et
en
. Comme similitude directe, elle conserve les angles orientés et donc
.
Consultez la figure animée suivante.
C.
Si
est le point diamétralement opposé à
sur
, alors l'angle
. Comme l'angle
est égal à l'angle de similitude
, alors
est un angle droit. Ceci est en général faux.
D.
Consultez la figure animée suivante.
Démonstration géométrique :
Les triangles
et
sont directement semblables. On a donc
et de l'égalité
on tire :
.
Comme de plus , les triangles
et
sont directement semblables et donc :
.
Pour des raisons de symétrie et
(angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc).
Donc , et par conséquent les points
,
et
sont alignés.
Démonstration avec les nombres complexes :
On considère le plan rapporté à un repère d'axe réel
. Dans lequel
a pour affixe
et
a pour affixe
, avec
réel. Supposons que
ait pour affixe
, alors
a pour affixe
.
L'angle de la similitude
est l'angle
, et le rapport est
.
L'écriture complexe de la similitude est :
Soit
un point de
, différent de
. Son affixe
vérifie
. Si
est l'affixe de
, alors :
Le dénominateur est réel.
Calculons le numérateur :
Or et
, donc
.
Or
est réel, donc
et
sont conjugués, ce qui montre que
est réel.
Il s'ensuit que est réel donc que l'angle :
.
Les points
,
et
sont alignés.