A.

La similitude de centre transformant en a pour rapport et transforme en . L'angle de la similitude est l'angle qui n'est pas un angle droit, sauf cas particulier.

B.

La similitude directe transforme en , en , et en . Comme similitude directe, elle conserve les angles orientés et donc .

Consultez la figure animée suivante.

C.

Si est le point diamétralement opposé à sur , alors l'angle . Comme l'angle est égal à l'angle de similitude , alors est un angle droit. Ceci est en général faux.

D.

Consultez la figure animée suivante.

Démonstration géométrique :

Les triangles et sont directement semblables. On a donc et de l'égalité on tire : .

Comme de plus , les triangles et sont directement semblables et donc : .

Pour des raisons de symétrie et (angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc).

Donc , et par conséquent les points , et sont alignés.

Démonstration avec les nombres complexes :

On considère le plan rapporté à un repère d'axe réel . Dans lequel a pour affixe et a pour affixe , avec réel. Supposons que ait pour affixe , alors a pour affixe .

L'angle de la similitude est l'angle , et le rapport est .

L'écriture complexe de la similitude est :

Soit un point de , différent de . Son affixe vérifie . Si est l'affixe de , alors :

Le dénominateur est réel.

Calculons le numérateur :

Or et , donc .

Or est réel, donc et sont conjugués, ce qui montre que est réel.

Il s'ensuit que est réel donc que l'angle : .

Les points , et sont alignés.