A.

Les angles et sont égaux (angles droits).

Dans le triangle , les angles ont une somme de radians : .

Dans le triangle , les angles ont une somme de radians : .

Or et . Donc .

On a donc . Donc les triangles et sont (directement) semblables.

La similitude directe qui transforme en , en et en a pour angle .

Par cette similitude, le centre de gravité du triangle a pour image le centre de gravité du triangle .

On a donc et par conséquent est égal à l'angle de similitude soit .

B.

Consultez la figure animée suivante (cliquez ici)

et étant les centres de gravité des triangles et , la droite coupe et en et .

Soit le milieu de . L'homothétie de centre et de rapport transforme en et en . L'image par cette homothétie de la droite est la droite qui lui est donc parallèle.

Les triangles et sont semblables, et comme n'est pas isocèle, le triangle n'est pas isocèle.

C.

Consultez la figure animée suivante (cliquez ici)

Par la similitude décrite dans la proposition A, l'image du centre du cercle inscrit dans un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle image (la similitude conserve les angles, donc les bissectrices). On a donc, comme dans la proposition A, .

est égal à l'angle de similitude soit .

D.

et étant les centres des cercles inscrits des triangles et , la droite coupe et en et .

La similitude introduite dans la proposition , a pour rapport et transforme en .

On a donc : . Donc .

De plus . Donc les triangles et sont directement semblables, et la similitude qui transforme en , en et en a pour angle , car la droite est bissectrice de l'angle .

L'image par de la droite est la droite . On a donc .

Le triangle est rectangle en , et il a un angle de . Il est donc isocèle.

Consultez la figure animée suivante (cliquez ici).