1)
est un triangle, rectangle en
, non isocèle, et
est le projeté orthogonal de
sur
. Le triangle
a la même orientation que
.
A.
Les angles et
sont égaux (angles droits).
Dans le triangle
, les angles ont une somme de
radians :
.
Dans le triangle
, les angles ont une somme de
radians :
.
Or et
. Donc
.
On a donc . Donc les triangles
et
sont (directement) semblables.
La similitude directe
qui transforme
en
,
en
et
en
a pour angle
.
Par cette similitude, le centre de gravité du triangle
a pour image le centre de gravité du triangle
.
On a donc et par conséquent
est égal à l'angle de similitude soit
.
B.
Consultez la figure animée suivante (cliquez ici)
et
étant les centres de gravité des triangles
et
, la droite
coupe
et
en
et
.
Soit
le milieu de
. L'homothétie de centre
et de rapport
transforme
en
et
en
. L'image par cette homothétie de la droite
est la droite
qui lui est donc parallèle.
Les triangles
et
sont semblables, et comme
n'est pas isocèle, le triangle
n'est pas isocèle.
C.
Consultez la figure animée suivante (cliquez ici)
Par la similitude
décrite dans la proposition A, l'image du centre du cercle inscrit dans un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle image (la similitude conserve les angles, donc les bissectrices). On a donc, comme dans la proposition A,
.
est égal à l'angle de similitude soit
.
D.
et
étant les centres des cercles inscrits des triangles
et
, la droite
coupe
et
en
et
.
La similitude
introduite dans la proposition
, a pour rapport
et transforme
en
.
On a donc : . Donc
.
De plus . Donc les triangles
et
sont directement semblables, et la similitude
qui transforme
en
,
en
et
en
a pour angle
, car la droite
est bissectrice de l'angle
.
L'image par
de la droite
est la droite
. On a donc
.
Le triangle
est rectangle en
, et il a un angle de
. Il est donc isocèle.
Consultez la figure animée suivante (cliquez ici).