2) On considère dans le plan orienté un triangle rectangle isocèle
tel que
modulo
.
On appelle la droite
.
est un point quelconque de la droite
et
le point tel que le triangle
est rectangle isocèle et vérifie
modulo
.
est le milieu de
et
est le milieu de
.
Pour répondre aux questions, vous pouvez vous aider de la figure suivante (cliquez ici), sur laquelle vous pouvez déplacer le point
à l'aide de la souris.
A.
Le triangle
est rectangle isocèle direct, donc :
,
et
.
La similitude de centre
qui transforme
en
a pour angle
, mais elle a pour rapport
.
B.
parcourt la droite
. Donc
appartient à l'image de cette droite par la similitude de centre
qui transforme
en
. Consultez la figure animée suivante (cliquez ici).
Pour en savoir plus...
Soit
cette similitude.
Par construction, l'image de
est
. L'image de
est le point
tel que
soit rectangle isocèle en
, avec
.
L'image de par
est la droite
.
Réciproquement,
étant bijective, tout point de
est l'image d'un point
de
.
Le lieu géométrique de
lorsque
parcourt
est la droite
.
C.
Consultez la figure animée suivante (cliquez ici).
La similitude de centre
, d'angle
et de rapport
transforme le triangle
en
(car l'image d'un triangle rectangle isocèle direct est un triangle rectangle isocèle direct).
Elle envoie , milieu de
, en
, milieu de
(conservation du milieu par la similitude). Par conséquent :
et
, d'où l'on tire :
et
.
La similitude
de centre
, d'angle
et de rapport
transforme :
Donc les triangles
et
sont semblables.
D.
La similitude
de centre
, d'angle
et de rapport
transforme
en
(voir corrigé de la proposition C).
Le lieu de
lorsque
parcourt
est donc
, la droite image de
par
(consultez la figure animée suivante).