2
/
2
PrécédentSuivant

Enoncé

2) On considère dans le plan orienté un triangle rectangle isocèle tel que modulo .

On appelle la droite .

est un point quelconque de la droite et le point tel que le triangle est rectangle isocèle et vérifie modulo .

est le milieu de et est le milieu de .

Pour répondre aux questions, vous pouvez vous aider de la figure suivante (cliquez ici), sur laquelle vous pouvez déplacer le point à l'aide de la souris.

Résultat

Correction

A. La similitude de centre qui transforme en a pour angle et pour rapport

B. Le lieu géométrique de lorsque parcourt est une droite

C. Les triangles et sont semblables

AIDE :

Que peut-on dire des triangles et (considérer la similitude de centre , d'angle et de rapport ).

Considérer la similitude de centre , d'angle et de rapport . Quelle est l'image de ?

D. Le lieu géométrique de lorsque parcourt est une droite

Explications

A.

Le triangle est rectangle isocèle direct, donc :

  • ,

  • et .

La similitude de centre qui transforme en a pour angle , mais elle a pour rapport .

B.

parcourt la droite . Donc appartient à l'image de cette droite par la similitude de centre qui transforme en . Consultez la figure animée suivante (cliquez ici).

Pour en savoir plus...

Soit cette similitude.

Par construction, l'image de est . L'image de est le point tel que soit rectangle isocèle en , avec .

L'image de par est la droite .

Réciproquement, étant bijective, tout point de est l'image d'un point de .

Le lieu géométrique de lorsque parcourt est la droite .

C.

Consultez la figure animée suivante (cliquez ici).

La similitude de centre , d'angle et de rapport transforme le triangle en (car l'image d'un triangle rectangle isocèle direct est un triangle rectangle isocèle direct).

Elle envoie , milieu de , en , milieu de (conservation du milieu par la similitude). Par conséquent :

et , d'où l'on tire :

et .

La similitude de centre , d'angle et de rapport transforme :

Donc les triangles et sont semblables.

D.

La similitude de centre , d'angle et de rapport transforme en (voir corrigé de la proposition C).

Le lieu de lorsque parcourt est donc , la droite image de par (consultez la figure animée suivante).