Enoncé
1)
est un triangle direct du plan orienté.
On désigne respectivement par
,
et
les milieux de 
, 
et 
.
Soit
un réel.
est l'image de la droite 
par la rotation de centre
et d'angle
.
est l'image de la droite 
par la rotation de centre
et d'angle
.
est l'image de la droite 
par la rotation de centre
et d'angle
.
est le point d'intersection de et , celui de et et 
celui de et .
On appelle
le point d'intersection de et . On suppose que le choix de
garantit l'existence de ce point.
Pour répondre aux questions vous pouvez vous aider de la figure suivante (cliquez ici), sur laquelle vous pouvez :
déplacer les points à l'aide de la souris,
fixer vous même l'angle
.
Résultat
Correction
Explications
A.
Exhibons une situation où les triangles n'ont manifestement pas les mêmes angles.
Vous pouvez visualiser la figure animée suivante (cliquez ici) et fixer vous même l'angle
sur cette figure.
B.
Les triangles
et ont deux angles deux à deux égaux :
(angles opposés par le sommet) et 
donc 
.
(opposés par le sommet).
Donc ils sont semblables.
C.
On peut déduire du fait que les triangles
et 
sont semblables que les angles 
et 
sont égaux, c'est-à-dire que les angles 
et 
sont égaux. On pourrait montrer de même que les autres angles des triangles
et 
sont égaux, donc ces triangles sont bien semblables.
D.
Sur la figure dynamique suivante (cliquez ici), vous pouvez choisir la valeur de
avec la souris.
Dans la situation particulière où 
, , et sont les médiatrices du triangle
et les points , 
et sont confondus avec le centre du cercle circonscrit au triangle
. Dans ces conditions les distances 
, 
et 
sont nulles et ne peuvent être égales aux distances
,
et
.