1) est un triangle direct du plan orienté.
On désigne respectivement par , et les milieux de , et .
Soit un réel.
est l'image de la droite par la rotation de centre et d'angle .
est l'image de la droite par la rotation de centre et d'angle .
est l'image de la droite par la rotation de centre et d'angle .
est le point d'intersection de et , celui de et et celui de et .
On appelle le point d'intersection de et . On suppose que le choix de garantit l'existence de ce point.
Pour répondre aux questions vous pouvez vous aider de la figure suivante (cliquez ici), sur laquelle vous pouvez :
déplacer les points à l'aide de la souris,
fixer vous même l'angle .
A.
Exhibons une situation où les triangles n'ont manifestement pas les mêmes angles.
Vous pouvez visualiser la figure animée suivante (cliquez ici) et fixer vous même l'angle sur cette figure.
B.
Les triangles et ont deux angles deux à deux égaux :
(angles opposés par le sommet) et donc .
(opposés par le sommet).
Donc ils sont semblables.
C.
On peut déduire du fait que les triangles et sont semblables que les angles et sont égaux, c'est-à-dire que les angles et sont égaux. On pourrait montrer de même que les autres angles des triangles et sont égaux, donc ces triangles sont bien semblables.
D.
Sur la figure dynamique suivante (cliquez ici), vous pouvez choisir la valeur de avec la souris.
Dans la situation particulière où , , et sont les médiatrices du triangle et les points , et sont confondus avec le centre du cercle circonscrit au triangle . Dans ces conditions les distances , et sont nulles et ne peuvent être égales aux distances , et .