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Enoncé

3) Soit un nombre complexe non nul. Soit la similitude d'écriture complexe .

Résultat

Correction

A. peut être une homothétie de rapport négatif

B. Il existe une seule valeur de pour laquelle est une rotation d'angle

C. Pour , est un quart de tour direct

D. Il existe plusieurs valeurs de pour lesquelles est une translation

Explications

A.

Il suffit de prendre .

B.

Pour que soit une rotation d'angle , il faut et il suffit que .

Si l'on pose avec , on a .

On peut donc avoir :

  • pour , ,

  • pour , ,

  • pour , .

C.

Si , alors . est une similitude de rapport . Ce n'est pas une isométrie, donc pas un quart de tour.

REMARQUE :

le calcul précédent montre que l'angle de est .

D.

Pour que soit une translation, il faut et il suffit que .

Si l'on pose avec , on a .

On peut donc avoir :

  • pour ,

  • pour , ,

  • pour , .