1) Il existe un seul nombre de trois chiffres qui s'écrive en base
et
en base
.
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équivaut à
, soit
ou encore
;
étant entier,
divise
entier naturel inférieur ou égal à
.
Donc
. Par suite,
.
D'après le théorème de Gauss,
divise
et
divise
. Or,
et
sont des entiers naturels non nuls et inférieurs ou égaux à
, donc
et
. On peut vérifier que
.