Sous les hypothèses précédentes, on peut écrire que :

On note et . On a . Voir figure \ref {gr}.

Les points de la "frontière'' de vérifient l'une ou l'autre des équations ou et la courbe peut donc être paramétrée en deux "morceaux'' qui se rejoignent en et :

et

Le parcours de dans le sens direct correspond alors bien au parcours de puis de avec les paramétrages indiqués ci-dessus.

Calculons l'intégrale double :

Calculons , on écrit cette circulation comme la somme de la circulation sur et sur , on utilise la paramétrisation de ces 2 courbes pour calculer ces circulations.

On en déduit donc :

De manière analogue, en écrivant la définition de sous la forme :

on montrerait que :

Des deux relations précédentes, on tire la conclusion.