Soit
une partie de
limitée par une courbe fermée, sans point double, parcourue dans le sens direct, notée
. Soient deux fonctions
et
qui admettent des dérivées partielles premières continues sur
, alors on a :
-
Sous les hypothèses précédentes, on peut écrire que :
On note
et
. On a
. Voir figure \ref {gr}.Les points de la "frontière''
de
vérifient l'une ou l'autre des équations
ou
et la courbe
peut donc être paramétrée en deux "morceaux'' qui se rejoignent en
et
:
et
Le parcours de
dans le sens direct correspond alors bien au parcours de
puis de
avec les paramétrages indiqués ci-dessus.
-
Calculons l'intégrale double :
-
Calculons
, on écrit cette circulation comme la somme de la circulation sur
et sur
, on utilise la paramétrisation de ces 2 courbes pour calculer ces circulations.
-
On en déduit donc :
-
De manière analogue, en écrivant la définition de
sous la forme :
on montrerait que :
Des deux relations précédentes, on tire la conclusion.