Cas des fluides pesants à la surface libre
Considérons les hypothèses suivantes :
ρ est la masse volumique du fluide.
μ est la viscosité dynamique.
ν est la viscosité cinématique.
est la vitesse loin de l'obstacle (u, v, w ses composantes).
Question
En utilisant la procédure vue avec l'écoulement en charge (dans la partie méthode directe), retrouver les équations sans dimension dans le cas d'un fluide pesant à la surface libre.
1 - Ecrire les équations de Navier-Stockes en tenant compte des forces de pesanteur.
2 - Ecrire les variables réduites intervenants dans ce problème.
3 - Calculer les dérivées de u, v, et w par rapport à t ainsi que les dérivées de P par rapport à x, y, z. Puis alculer le Laplacien de u, de v et de w.
4 - En déduire les équations sans dimension.
Commençons par écrire les équations de Navier Stokes en tenant compte des forces de pesanteur.
On obtient alors :
Il nous faut maintenant écrire les variables réduites qui nous permettrons de calculer les termes intervenant dans les équations sans dimension.
On obtient les variables réduites suivantes :
Calculons les termes intervenant dans l'équation de Navier-Stokes.
Il nous reste le calcul du Laplacien de u (on fera de même pour v et w) :
En remplaçant dans l'équation de Navier-Stokes, nous obtenons :
