MR :Equations différentielles de Ricatti
Une équation différentielle de Ricatti est une équation différentielle qui peut s'écrire sous la forme
|
Méthode de résolution
- On connaît une solution particulière de l'équation différentielle
- On cherche alors une solution générale de la forme
On remplace dans
Ce qui donne :
h(x) est solution d'une équation de Bernouilli
|
|
Exercice corrigé :
- Résoudre l'équation différentielle définie sur R*
|
|
On reconnaît une équation de Ricatti , est une solution particulière de
|
On cherche une solution de la forme
On obtient l'équation différentielle de Bernouilli ci-dessous:
-
est une équation de Bernouilli que l'on sait résoudre en posant
- est une équation différentielle linéaire
-
- solution de l'équation sans second membre
-
-
solution particulière de l'équation complète
On utilise la méthode de la variation de la constante
On remplace dans et on obtient
les solutions de l'équation différentielle
|
Tracé de quelques solutions de l'équation différentielle
|
Si on fixe des conditions initiales
La solution est unique:
|
|