Exo 14
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un espace vectoriel de dimension
et
un projecteur de
.
Question
Déterminer les éléments propres de l'application
qui à tout endomorphisme
de
associe l'endomorphisme :
.
et
sont en somme directe, donc un endomorphisme
de
est caractérisé par ses restrictions à ces deux sous-espaces. Et :
.
Utilisez cette forme pour trouver des vecteurs propres de
, et donc ses valeurs propres.
est un projecteur de
. Donc
et
.
Soit
une base de
et
une base de
.
Donc :
et
.
Soit
un endomorphisme de
:
.
Si
et
, alors
. Donc
. Il suffit par exemple que
vérifie :
et
. Donc il existe au moins un endomorphisme
non nul tel que
. Donc
est valeur propre de
. Et le sous-espace propre associé
contient au moins tous les endomorphismes
tels que
et
, donc
.
Si
et
, alors
et
car
. Donc :
. Il suffit par exemple que
vérifie :
et
. Donc il existe au moins un endomorphisme
non nul tel que
. Donc
est valeur propre de
.Et le sous-espace propre associé
contient au moins tous les endomorphismes
tels que
et
.
Si
, alors :
et
. Donc :
. Il suffit par exemple que
vérifie :
et
. Donc il existe au moins un endomorphisme
non nul tel que
. Donc
est valeur propre de
.De même, si
, alors :
et
et donc :
, donc
.Donc le sous-espace propre
contient au moins tous les endomorphismes
tels que
et
, et tous les endomorphismes
tels que
et
, donc
.
Donc
possède au moins trois valeurs propres
,
et
.
Or
.
Donc
. Donc
n'a pas d'autre valeur propre.
Conclusion :
possède trois valeurs propres
,
et
. Les sous-espaces propres sont :
.
.
.
