Exo 10
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux matrices de
.
Question
Démontrer que si
, les matrices
et
ont un vecteur propre commun.
Utilisez la restriction de
(endomorphisme de matrice
) à
.
Soient
et
les endomorphismes de
de matrices
et
dans la base canonique.
On suppose que
, donc :
.
Si
,
, donc tout vecteur non nul de
est vecteur propre de
, donc tout vecteur propre de
est vecteur propre de
.
Si
, alors
et
est stable par
, donc
est un endomorphisme de
qui possède au moins un vecteur propre
.
Donc
est aussi vecteur propre de
, et
, donc
.
Or
, donc :
, donc
et
.
Donc,
est aussi vecteur propre de
. Donc
et
ont un vecteur propre commun.
Conclusion : Si
, les matrices
et
ont un vecteur propre commun.
Question
Démontrer que si
, les matrices
et
ont un vecteur propre commun.
Utilisez la restriction de
(endomorphisme de matrice
) à un sous-espace propre de
(endomorphisme de matrice
).
On suppose que
, donc :
.
L'endomorphisme
admet au moins une valeur propre
. Soit
le sous-espace propre associé :
.
Donc :
, donc
.
Donc :
. Donc
est stable par
et
.
Donc
est un endomorphisme de
qui possède au moins un vecteur propre
.
Donc
est vecteur propre de
(donc non nul) et appartient à
.
Donc
est aussi vecteur propre de
. Donc
et
ont un vecteur propre commun.
Conclusion : Si
, les matrices
et
ont un vecteur propre commun.
