Exo 7
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère la matrice
où
, ...,
sont des réels positifs ou nuls et
.
Question
Calculer son polynôme caractéristique.
Déterminez successivement un polynôme annulateur de la matrice, le polynôme minimal, puis le polynôme caractéristique.
Soit
l'endomorphisme de
de matrice
dans la base canonique
.
Donc :
, et
.
Donc :
, et donc :
.
Donc :
si
est l'endomorphisme :
avec
.
Et :
car
commute avec
.
Donc l'endomorphisme
est nul. Donc le polynôme
est un polynôme annulateur de
.
Donc le polynôme minimal
de
divise le polynôme
.
Soit
le degré de
:
avec
, et
.
Donc :
, donc, si
, la famille
serait liée, ce qui est faux.
Donc le polynôme
est de degré
et unitaire, donc
.
Or le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique qui est lui aussi de degré
, mais de coefficient dominant
.
Donc
.
Conclusion : Le polynôme caractéristique de
est
.
Remarque :
On aurait pu démontrer ce résultat par récurrence.
Question
Montrer que la matrice
a une et une seule valeur propre strictement positive.
Raisonnez par récurrence.
Les valeurs propres de
sont les racines de
, donc de
.
Montrons par récurrence que, pour tout entier
, tout polynôme de la forme
(avec
et
) possède une et une seule racine dans
.
Initialisation :
a pour discriminant
, donc, si
, il a deux racines de signes contraires, et si
, les racines sont
et
.
Donc dans les deux cas,
a une et une seule racine strictement positive.
Hérédité : Soit
tel que tout polynôme de la forme
(avec
et
) possède une et une seule racine dans
.
Soit
avec
et
.
où
avec
et
.
Si
,
possède une seule racine dans
qui est celle de
.
Si
,
et
.
Donc le polynôme
s'annule au moins une fois sur
.
.
Or
et
.
Donc d'après l'hypothèse de récurrence, le polynôme
a une et une seule racine
dans
. Donc
a une seule racine
dans
.
Or
, donc
.
Donc, il y a deux possibilités :
Or
, donc dans les deux cas,
s'annule une seule fois dans
.
Conclusion : Pour tout entier
, le polynôme
(avec
et
) possède une et une seule racine dans
.
Conclusion : La matrice
a une et une seule valeur propre strictement positive.
