Exo 1
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
un endomorphisme d'un espace vectoriel
de dimension
et
un polynôme annulateur de
.
Question
Montrer que si
admet
comme racine simple, alors :
.
Factorisez le polynôme
et utilisez le théorème de décomposition des noyaux.
Le polynôme
admet
comme racine, donc il existe un polynôme
tel que
.
est racine simple de
donc
. Donc les polynômes
et
sont premiers entre eux.
Donc d'après le théorème de décomposition des noyaux :
.
Or
. Donc :
. Donc :
.
Donc
d'après le théorème du rang.
De plus :
. Donc :
.
Donc :
puisqu'ils ont la même dimension.
Conclusion :
.
Remarque :
Le résultat reste vrai même si
n'est pas de dimension finie.
En effet, on a toujours :
.
De plus, il existe un polynôme
tel que
avec
car
. Donc
.
Donc :
, donc
.
Donc :
.
