Exo 13
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient
et
deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
de dimension
.
Question
Démontrer que
si et seulement si
et
ont un sous-espace vectoriel supplémentaire commun.
L'une des deux implications est évidente.
Pour démontrez l'autre, construisez d'abord un supplémentaire commun à
et
dans
, puis utilisez un supplémentaire de
dans
.
Montrons successivement les deux implications.
Supposons que
et
ont un sous-espace vectoriel supplémentaire commun
.Donc :
et
. Donc :
.
Supposons que :
. Donc
.Si
, alors
, donc
et
ont un supplémentaire commun
.Plus généralement, si
, tout supplémentaire de
est commun à
et
.On suppose donc maintenant que
et donc
. Soit :
.Construisons un supplémentaire commun à
et à
dans
.
est un sous espace vectoriel de
et de
distinct de
et de
.
admet un supplémentaire
dans
et un supplémentaire
dans
.Donc :
.
. Soit
une base de
.Et :
. Soit
une base de
.
.Donc :
.Les vecteurs
, ...,
appartiennent à
.Soient
, ...,
des réels tels que :
.Donc
. Donc
.Donc
, donc
car
est libre.Donc les vecteurs
, ...,
forment une famille libre.Soit
. Donc :
et
.Soit
. Donc :
et
.Or :
. Donc
.Donc :
, donc
car
est libre.Donc :
. Or :
et
. Donc :
. De même :
. Donc
est un supplémentaire commun à
et à
dans
.Construisons un supplémentaire commun à
et à
dans
.Soit
un supplémentaire de
dans
. Donc :
.Donc :
et
.Soit :
. Donc :
.Tout vecteur de
est somme d'un vecteur de
et d'un vecteur de
qui est lui-même somme d'un vecteur de
et de
.Donc tout vecteur de
est somme d'un vecteur de
et d'un vecteur de
.Donc :
. Et :
. Donc :
.De même tout vecteur de
est somme d'un vecteur de
et d'un vecteur de
et :
. Donc
est un supplémentaire commun à
et à
.
Conclusion :
si et seulement si
et
ont un sous-espace vectoriel supplémentaire commun dans
.
