Espaces vectoriels de dimension finie
Définition :
Si un espace vectoriel a une famille génératrice finie, il possède au moins une base et toutes ses bases ont le même nombre de vecteurs.
Ce nombre s'appelle la dimension de : .
Et par convention : .
Exemple :
est un espace vectoriel de dimension finie et .
Sa base canonique est : , , ..., .
est un espace vectoriel de dimension finie et .
Sa base canonique est .
est un espace vectoriel de dimension finie et .
Sa base canonique est formée par les matrices dont tous les termes sont nuls sauf le terme de la ème ligne et de la ème colonne qui vaut .
Par contre, par exemple, l'espace vectoriel des polynômes sur n'est pas de dimension finie.
Fondamental :
Propriétés des familles de vecteurs dans un espace vectoriel de dimension :
Toute base de a vecteurs.
Toute famille libre de a au plus vecteurs.
Toute famille génératrice de a au moins vecteurs.
Toute famille libre de vecteurs de est une base de .
Toute famille génératrice de vecteurs de est une base de .
Toute famille libre de peut être complétée en une base de (Théorème de la base incomplète)
De toute famille génératrice de , on peut extraire une base de .
Fondamental :
Propriétés des sous-espaces vectoriels dans un espace vectoriel de dimension finie :
Si est un sous-espace vectoriel de : (Il y a égalité si et seulement si ).
Si et sont des sous-espaces vectoriels de : .
Deux sous-espaces et sont supplémentaires si et seulement si : et .
Définition :
Le rang d'une famille de vecteurs est : .