Exo 11
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit
l'espace vectoriel des applications de
dans
.
Question
Démontrer que, pour tout
, la la famille
de fonctions définies par :
est une famille libre de
.
Raisonnez par récurrence et utilisez les dérivées secondes.
On raisonne par récurrence.
Initialisation :
. Donc
n'est pas la fonction nulle.
Donc la famille
est libre.
Hérédité : Soit
tel que la famille
soit libre.
Soit
une famille de réels tels que :
.
Or, en dérivant :
. Donc :
.
Donc :
. Donc :
.
Or par hypothèse de récurrence, la famille
est libre.
Donc :
, donc
.
Or :
, donc :
, donc :
, donc :
.
Donc :
. Donc la famille
est libre.
Conclusion : Pour tout entier
, la famille
est libre.
Question
Démontrer que, pour tout
, la la famille
de fonctions définies par :
est une famille libre de
.
Ramenez le problème à la nullité d'un polynôme.
Soit
une famille de réels tels que :
.
Donc :
.
Donc :
si
est le polynôme
.
Donc le polynôme
s'annule sur tout l'intervalle
, donc
admet une infinité de racines. Donc c'est le polynôme nul.
Donc tous ses coefficients sont nuls. Donc :
.
Conclusion : Pour tout entier
, la famille
est libre.
