Familles de vecteurs
Dans ce qui suit, désigne un - espace vectoriel.
Définition :
Une famille de vecteurs d'un sous-espace vectoriel est une famille génératrice de si .
C'est équivalent à dire que : .
Fondamental :
Propriétés :
Toute famille de vecteurs de qui contient une famille génératrice de est génératrice de .
Si l'un des vecteurs d'une famille génératrice de est combinaison linéaire des autres, la famille privée de ce vecteur est génératrice de .
Définition :
Une famille de vecteurs de est une famille libre si : .
Fondamental :
Propriétés :
La famille est libre si et seulement si tout vecteur de s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire de .
Toute famille extraite d'une famille libre est libre.
La famille est libre si et seulement si .
La famille est libre si et seulement si et ne sont pas colinéaires.
Définition :
Une famille de vecteurs de est une famille liée si elle n'est pas libre, donc si : .
Fondamental :
Propriétés :
La famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
Toute famille qui contient une famille liée est liée.
Définition :
Une famille de vecteurs d'un sous-espace vectoriel est une base de si elle est libre et génératrice de .
Une famille de vecteurs de est une base de si et seulement si : .
Les coefficients sont les coordonnées de dans la base .