Ecoulement autour d'un corps solide
Hypothèses
Cas de la sphère
On considère l'écoulement d'un fluide incompressible pour lequel on néglige les effets de la pesanteur autour d'une sphère immobile de rayon a. On appelle ρ la masse volumique et μ la viscosité dynamique
But : étudier les forces de résistance (pression et viscosité) exercées par l'écoulement uniforme autour de la sphère.
Remarque :
Par symétrie, la portance sera nulle quelque soit la vitesse. Pour l'étude de la traînée, il faut distinguer différents régime d'écoulements suivant la valeur du nombre de Reynolds.
D'après notre étude sur l'analyse dimensionnelle, la traînée peut se mettre sous la forme :
Objectif : déterminer le Cx en fonction du régime d'écoulement.
Écoulement de Stokes
Champ des vitesses et champ des pressions
Un écoulement de Stokes est un écoulement à nombre de Reynolds très faible (R < 1) ; on se place donc dans le cas d'un écoulement laminaire où les lignes de courant épousent parfaitement la surface de la sphère.
Les forces d'inertie
et de pesanteur
sont négligées ; l'équation de Navier Stokes se réduit à :
Les conditions aux limites sont :
La symétrie impose l'utilisation des coordonnées sphériques :
Les solutions sont données par :
Remarque :
En faisant varier q de 0 à p, et r = a; on remarque qu'il y a surpression sur l'avant de la sphère et une dépression à l'arrière.
Coefficient de traînée : Cx
Tp : traînée due aux forces de pression
dTp = p cosq dS
Calcul de la traînée due aux forces de pression
Calcul de la traînée Tv due aux forces de viscosité
Par définition, on a :
Expression de la traînée
Le calcul donne :
Soit pour la traînée totale :
Remarque :
Ne pas oublier les conditions d'application : R < 1
Expression du coefficient de traînée : Cx
Cas des écoulements plus rapides
Hypothèse de Prandtl
Les forces de viscosité n'interviennent que sur un très petit domaine autour de la sphère. Au contact de la sphère, la vitesse est nulle. A l'extérieur du domaine appelé couche limite, les vitesses d'écoulement sont celles du fluide parfait. Les actions exercées par le fluide sur la sphère dépendent essentiellement de la couche limite où le gradient de vitesse est important.
Couche limite laminaire(CLL) et couche limite turbulente(CLT)
La couche limite se développe à partir du point d'arrêt A, elle est d'abord laminaire. Si les vitesses sont suffisamment élevées,
à partir d'une zone T (zone de transition) elle devient turbulente.
Soit δ l'épaisseur de la couche limite : R = ρVδ / μ ~ 2000
Pour trouver des ordres de grandeur, il est conseillé de faire l'Exercice 3
Décollement de la couche limite
Pour des vitesses plus élevées, la couche limite se décolle et il apparaît un sillage en aval de la sphère. Dans le sillage, la pression est sensiblement constante et supérieure à la pression loin de l'obstacle. La traînée augmente fortement et elle est essentiellement due aux forces de pression (l'effet des forces de viscosité devient négligeable)
Visualisation d'un écoulement autour d'une sphère (écoulement turbulent)
Pour l'Application, il est conseillé de faire l'Exercice 4.
