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Addition et multiplication des entiers de Gauss

Addition complexe

Les entiers de Gauss sont des nombres complexes et sont des nombres entiers appelés respectivement la partie réelle et la partie imaginaire. L'addition et la multiplication de deux entiers de Gauss fabriquent un autre entier de Gauss. Leurs formes cartésiennes permettent d'écrire des formules explicites pour ces opérations.

Dans les appliquettes suivantes, les termes de l'addition et les facteurs de la multiplication peuvent être pilotés.

No Java Support.

Vous pouvez bouger les entiers de Gauss et et visualiser leur somme. On voit que l'addition s'interprète géométriquement comme la somme de deux vecteurs du plan des points entiers , composante par composante,

Multiplication complexe

La multiplication complexe repose sur le nombre imaginaire qui vérifie . Il était imaginaire pour les italiens de la renaissance mais a tout autant droit à l'existence que (qui n'est pas rationnel) ou , simplement, contrairement à eux, ce n'est pas un nombre réel! En développant simplement les sommes et dans leur produit, on obtient à l'aide de :

On voit donc que les entiers de Gauss sont préservés par la multiplication.

No Java Support.

Avec ces deux opérations, l'ensemble des entiers de Gauss devient un anneau intègre mais pas un corps, c'est-à-dire que le produit de deux nombres non nuls ne fait jamais zéro mais la plupart des éléments ne sont pas inversibles.

Pr. Dr. Dr. Jürgen Richter Gebert, Université Technique de Munich http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/Lehrstuhl/RichterGebert Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale - Partage des Conditions Initiales à l'IdentiqueRéalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)