Etude d'une courbe plane en coordonnées polaires
On suppose que le plan affine euclidien
est rapporté à un repère orthonormal
.
Rappel : Il existe une bijection entre le plan
et le corps des complexes. A tout point
du plan, on peut associer son affixe
.
Définition :
Une courbe plane en coordonnées polaires est définie par la donnée d'un intervalle
et d'une fonction
de classe
de
dans
avec
.
Pour tout
, le point
de
est le point d'affixe
.
Il s'agit d'un cas particulier de paramétrage. Les points de
sont définis par :
.
Exemple :
est la courbe de représentation polaire
.
La fonction
est définie sur
.
Attention :
Attention ! La fonction
n'est pas nécessairement positive, donc
n'est pas toujours égal au module de
.
Donc il n'y a pas unicité de la représentation polaire : si l'on change
en
et
en
, on obtient le même point.
C'est le cas de l'exemple précédent :
. Donc les points
et
sont confondus.
Fondamental :
Dans toute la suite, on note
et
.
Donc :
.
La vitesse est :
.
L'accélération est :
.
Le vecteur
est colinéaire à
et le vecteur
est orthogonal à
.
De plus, le vecteur
est le vecteur dérivé de
par rapport à
.
Fondamental :
Réduction du domaine d'étude
Si
et
, on réduit l'étude à un intervalle de longueur
et on complète la courbe par les rotations de centre
et d'angles
où
.Si
est un multiple de
, l'étude d'un intervalle de longueur
suffit pour obtenir toute la courbe.Si
, il suffit d'effectuer
rotations pour obtenir toute la courbe.En particulier si
, la courbe est symétrique par rapport au point
.
Si
et
, on réduit l'étude à
ou
et on complète la courbe par symétrie :par rapport à la droite
si
.par rapport à la droite
si
.
Dans l'exemple précédent :
La fonction
est périodique de période
.Donc on réduit l'étude à
et on obtiendra ainsi toute la courbe.
La fonction
est impaire :
et
.Et quand
décrit
, alors
décrit
.Donc on réduit l'étude à
et on complètera la courbe par symétrie par rapport à la droite
, donc par rapport à l'axe des ordonnées.De plus :
et
.Et quand
décrit
, alors
décrit
.Donc on réduit l'étude à
et on complètera la courbe par symétrie par rapport à la droite
, donc aussi par rapport à l'axe des ordonnées.
Remarque : En fait,
et :
et
, donc :
.
Donc les arcs de courbe correspondant à
et à
sont confondus.
Fondamental :
Etude asymptotique
Si
, la courbe admet un point limite d'affixe
.Si
, la courbe admet une direction asymptotique
et l'on étudie la limite de
:Si
, la courbe admet une branche parabolique de direction
.Si
, la courbe admet une asymptote d'équation
.
Si
tend vers l'infini, on a une spirale :Si
, la spirale admet un point asymptote
.Si
(
), la spirale admet un cercle asymptote de centre
et de rayon
.Si
, la spirale s'éloigne à l'infini.
Dans l'exemple précédent :
et
. Donc on étudie la limite de
.
Or :
.
Donc :
.
Donc la courbe admet une asymptote oblique d'équation
, donc d'équation
.
Méthode :
L'étude des variations de la fonction
met en évidence les valeurs du paramètre pour lesquels une étude locale est nécessaire.
On précisera en particulier les valeurs du paramètre pour lesquels la fonction
s'annule, donc où la courbe passe par le pôle
.
Dans l'exemple précédent, la fonction
Donc :
Et la courbe passe par le pôle
|  |
Fondamental :
Etude locale en un point autre que le pôle O
Les points autres que le pôle
sont réguliers, donc ce sont des points ordinaires ou des points d'inflexion.La tangente a pour vecteur directeur
.
Etude locale au pôle O
Seul le point
peut être un point stationnaire, donc c'est un point ordinaire ou un point de rebroussement de première espèce.La tangente a pour vecteur directeur
.
Dans l'exemple précédent :
On complète ensuite la courbe par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. |  |
Fondamental :
L'abscisse curviligne d'origine
est :
.
La courbure au point
est :
.
