Equation de Ricatti

On peut remarquer que la fonction est solution.

On pose : , donc : et : .

Donc est solution de l'équation si et seulement si : .

On obtient une équation de Bernoulli que l'on résout sur et sur .

La fonction nulle est solution sur chacun de ces intervalles, et pour tout réel , c'est la seule solution maximale qui s'annule en .

Donc les solutions maximales non constantes ne s'annulent pas. Donc on pose : .

Donc est solution de l'équation si et seulement si : .

Le premier membre est la dérivée de .

Donc : , donc .

Et : , donc .

Or : . Donc la fonction ne s'annule pas. Il faut donc que : et .

On en déduit les solutions de car : .

• Sur l'intervalle : ou avec .

  Si , on obtient : .

• Sur l'intervalle : ou avec .

  Si , on obtient : .

Les solutions sur sont continues et dérivables en .

Si : avec , alors : .

Donc : et , donc et .

Donc on ne peut raccorder ni avec ni avec .

Et on ne peut pas raccorder non plus avec pour car il faudrait que , donc que ce qui n'est pas possible si et .

Donc les seules solutions de l'équation sur sont : et .