Equations différentielles linéaires scalaires du premier ordre
Les fonctions considérées sont des fonctions définies sur un intervalle
de
et à valeurs dans
ou
.
Définition :
On appelle équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre toute équation
de la forme :
, où
et
sont des fonctions continues sur
.
Par exemple, l'équation :
est une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre.
Fondamental :
Propriétés
Soit
l'équation différentielle
, où
et
sont des fonctions continues sur
et soit
.
Toute solution de l'équation différentielle
est de classe
sur
.Théorème de Cauchy-Lipschitz : Il existe une unique solution
de l'équation
qui vérifie la condition initiale
.
Définition :
Soit
l'équation différentielle :
, où
et
sont des fonctions continues sur
.
On appelle équation homogène associée à
l'équation
:
.
On l'appelle aussi équation sans second membre car elle peut s'écrire :
.
Par exemple, l'équation homogène associée à l'équation
:
est l'équation
:
.
Fondamental :
Propriétés
Soit
l'équation différentielle
, et
l'équation homogène associée.
L'ensemble
des solutions de l'équation homogène est un espace vectoriel de dimension
, de base
où
est une primitive de la fonction
sur l'intervalle
.Si
est une solution de l'équation
, une fonction
est solution de
si et seulement si
appartient à
.
Par exemple toutes les solutions de l'équation
:
sont de la forme :
où
.
Et l'on peut remarquer que la fonction :
est solution de l'équation
:
.
Donc l'ensemble des solutions de
est l'ensemble des fonctions :
où
.
Et l'unique solution de
qui vérifie la condition initiale
est la fonction :
.
Méthode :
Donc pour résoudre l'équation différentielle linéaire scalaire
:
On détermine une primitive
de la fonction
.On en déduit la solution générale de l'équation homogène associée :
où
.On détermine une solution particulière
de l'équation
.On en déduit l'ensemble des solutions de
sous la forme :
où
.
En général, l'étape la plus difficile est la détermination d'une solution particulière de
.
Une autre technique est celle de la variation de constante.
Méthode :
Méthode de variation de constante
Soit
l'équation différentielle
, et
l'équation homogène associée.
On détermine une primitive
de la fonction
.On en déduit la solution générale de l'équation homogène associée :
où
.On cherche une solution de l'équation
sous la forme :
(ce qui revient à faire varier
).On en déduit l'expression de
et il suffit de trouver une primitive de cette fonction pour avoir toutes les solutions de
.
Dans l'exemple précédent (en supposant que l'on n'a pas trouvé de solution particulière), on pose :
.
On obtient :
, donc :
.
Donc
vérifie l'équation différentielle
si et seulement si :
, donc si :
avec
.
Et l'on retrouve l'expression des solutions trouvées précédemment :
avec
.
