Intégration d'une fonction numérique

Techniques de calcul

Cas d'une fraction rationnelle

Il s'agit d'une fonction de la forme : où et sont des polynômes.

Si , on effectue la division euclidienne de par pour se ramener au cas suivant.
Si , on factorise le polynôme sur : .
On décompose la fraction en éléments simples : .
Les fractions s'intègrent facilement.
Pour intégrer les fractions où , on utilise la forme canonique du dénominateur.
Pour intégrer les fractions où , on peut les décomposer sur le corps des complexes, puis rassembler les termes pour revenir dans .

Par exemple : .

Donc, en réduisant au même dénominateur : .

Donc : , , et . Donc : .

Donc une primitive est : .

Pour déterminer les coefficients, on peut aussi utiliser quelques valeurs particulières de .

Intégration par parties

Si et sont de classe par morceaux sur : .

On remplace le calcul de l'intégrale par celui de l'intégrale s'il est plus simple à calculer.

Par exemple, en posant et : .

Changement de variable

si est continue par morceaux sur , si est de classe sur et si .

On effectue le changement de variable en posant et en remplaçant par sans oublier de changer les bornes.

Par exemple, pour calculer , on pose , donc .

On calcule les nouvelles bornes : et .

Donc : .

Cas d'un polynôme trigonométrique

Il s'agit d'une combinaison linéaire de termes de la forme : .

Si est impair ( ), alors : , donc on peut intégrer en posant .
Si est impair ( ), alors : , donc on peut intégrer en posant .
Si et sont pairs, on linéarise : on transforme le produit en somme soit avec les complexes (formules d'Euler), soit avec les formules de trigonométrie.