Fonctions puissances
Rappel :
Pour tout entier naturel
:
(
fois).
Pour tout entier naturel
:
.
Et :
.
Donc :
, donc :
.
Fondamental :
Pour tout entier naturel
, la fonction
est bijective :
de
dans
si
est pair.de
dans
si
est impair.
Sa réciproque est notée :
.
La fonction
est donc définie sur
si
est pair, et sur
si
est impair.
Et lorsque
est impair, la fonction
est impaire.
Et :
, donc :
.
Pour tous les entiers
et
tels que
, on a :
et
.
Définition :
Pour tout rationnel
avec
et
, on définit :
.
Par continuité de la fonction exponentielle, si un réel
est limite d'une suite de rationnels
:
.
Définition :
Pour tout réel
, on appelle fonction puissance
la fonction définie par :
.
Suivant les valeurs de
, cette fonction peut être prolongée en
ou sur
.
Fondamental :
Propriétés algébriques
.
.
.
.
Les fonctions puissances sont solutions de l'équation fonctionnelle :
.
Fondamental :
Propriétés
La fonction
:
est définie, continue et indéfiniment dérivable sur
.
.
et
.Si
:
.
.
.
Si
, la fonction est prolongeable par continuité en
.
Si
, la courbe a une tangente verticale en 0 et possède une branche parabolique de direction
en
.
Si
, la courbe a une tangente horizontale en 0 et possède une branche parabolique de direction
en
.
