Développements limités
L'approximation locale d'une fonction par un polynôme permet par exemple de calculer des limites.
Définition :
Une fonction
admet un développement limité d'ordre
en
, noté
, s'il existe un polynôme
tel que :
.
S'il existe, le polynôme
est unique : c'est la partie régulière du
.
Par changement de variable
, on se ramène à un développement limité en
.
Fondamental :
Propriétés
Si la fonction
admet un
, il est unique.Si la fonction
admet un
, elle admet en
des développements limités de tout ordre
.Leur partie régulière est obtenue en tronquant le polynôme
à l'ordre
:
. Si la fonction
admet un
et si
, alors :
.
La formule de Taylor-Young permet de trouver des développements limités d'ordre
des fonctions de classe
.
Fondamental :
Développements limités usuels en 0
.
.
.
.
.
.
Par opérations sur ces développements limités, on en déduit ceux des autres fonctions.
Fondamental :
Opérations algébriques
Soient
et
deux fonctions qui admettent des
de parties régulières
et
.
Si
et
sont des réels, alors la fonction
admet un
dont la partie régulière est
.La fonction
admet un
dont la partie régulière est
.
Composition
Si la fonction
admet un
, si
et si la fonction
admet un
, alors la fonction
admet un
de partie régulière
.
Pour déterminer le développement limité d'un quotient, on compose le dénominateur avec la fonction
, puis l'on effectue le produit avec le numérateur.
Fondamental :
Intégration
Si la fonction
est continue sur un intervalle
contenant
et si
admet un
de partie régulière
, toute primitive
de
sur
admet un
dont la partie régulière est la primitive de
qui prend la valeur
en
.
Par contre, une fonction peut admettre un développement limité sans que sa dérivée en admette un.
