Extension aux fonctions à valeurs complexes
Soit
une fonction définie sur un intervalle
de
et à valeurs complexes.
On lui associe deux fonctions à valeurs réelles définie sur le même intervalle.
Définition :
La fonction
:
est la partie réelle de
.
La fonction
:
est la partie imaginaire de
.
La définition d'une limite finie s'étend aux fonctions complexes en remplaçant la valeur absolue par le module.
Définition :
La fonction
admet en
(réel) une limite complexe
si :
.
La fonction
admet en
une limite complexe
si :
.
La fonction
admet en
une limite complexe
si :
.
Fondamental :
La fonction
admet en
(réel ou infini) une limite finie si et seulement ses parties réelles et imaginaires admettent en
des limites réelles.
Si
, alors
et
.
Réciproquement, si
et
, alors
.
Par contre, les notions de
et de
n'ont pas de sens dans le corps des complexes.
Définition :
La fonction
admet en
une limite infinie si sa partie réelle ou sa partie imaginaire admet en
une limite infinie.
Les propriétés des limites réelles s'étendent aux limites finies de fonctions complexes sauf celles qui concernent la relation d'ordre.
Fondamental :
Opérations algébriques
Soient
et
deux fonctions qui admettent en
des limites finies
et
.
Leur somme
admet en
une limite finie :
.Leur produit
admet en
une limite finie :
.Leur quotient
admet en
une limite finie si
:
.
Composition
Si
(réel) et si
(complexe), alors
.
Fondamental :
Caractérisation séquentielle d'une limite (
réel ou infini)
si et seulement si, pour toute suite
convergeant vers
, la suite
converge vers
.
