Produit scalaire
Dans ce qui suit,
désigne un espace vectoriel réel.
Définition :
Un produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique, définie et positive, c'est-à-dire une application
de
dans
qui vérifie :
Pour tout
,
est linéaire de
dans
et pour tout
,
est linéaire de
dans
(bilinéarité).
(symétrie).
(positivité).
.
Notation :
.
Expression matricielle dans une base
:
où
est la matrice de coefficients
.
Exemple :
définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel
.
définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel
des polynômes.
définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel des fonctions continues sur un intervalle
(avec
).
définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel
des matrices à
lignes et
colonnes.
Définition :
Un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire est un espace préhilbertien.
Si la dimension est finie, c'est un espace vectoriel euclidien.
