Diagonalisation
Dans ce qui suit,
désigne un espace vectoriel de dimension
.
Définition :
Un endomorphisme
est diagonalisable s'il existe une base de
formée de vecteurs propres de
.
Définition :
Une matrice
est diagonalisable si
est semblable à une matrice diagonale : il existe une matrice inversible
et une matrice diagonale
telles que
.
Fondamental :
Propriétés :
Une matrice
est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme
associé l'est.Un endomorphisme
est diagonalisable si et seulement si
.Un endomorphisme
est diagonalisable si et seulement si
.Un endomorphisme
est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique
est scindé et si :
.Un endomorphisme
est diagonalisable si et seulement si
annule un polynôme scindé à racines simples.Si
et si l'endomorphisme
a
valeurs propres distinctes, alors
est diagonalisable.
Fondamental :
Décomposition spectrale :
Si un endomorphisme
est diagonalisable et
, alors
où
est le projecteur associé à
.
