Polynôme caractéristique d'un endomorphisme
Dans ce qui suit,
désigne un espace vectoriel de dimension
.
Définition :
Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme
de matrice
est :
.
Fondamental :
Propriétés :
Le polynôme caractéristique de
est un polynôme de degré
dont les racines sont les valeurs propres de
(et de
).Il est de la forme :
.Si
, tout endomorphisme de
a au plus
valeurs propres.Si
, tout endomorphisme a au moins une valeur propre.
est valeur propre d'ordre
si
est racine d'ordre
de
.Si
est valeur propre d'ordre
, alors
.Si le polynôme caractéristique de
est scindé, c'est-à-dire si
, alors :
et
.Théorème de Cayley-Hamilton : Le polynôme caractéristique
d'un endomorphisme
est un polynôme annulateur de
.Conséquence : Le polynôme minimal
d'un endomorphisme
divise le polynôme caractéristique
de
.
Définition :
Le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre
d'ordre
est :
.
