Formes linéaires
Dans ce qui suit,
désigne un
- espace vectoriel.
Définition :
Une forme linéaire sur
est une application linéaire de
dans
.
L'ensemble
des formes linéaires sur
est appelé espace dual de
.
Exemple :
Par exemple, l'application qui à toute matrice de
associe sa trace est une forme linéaire.
Définition :
Si
est une base de
, la famille
définie par
est une base de
appelée base duale de
.
La base
est appelée base préduale de la base
.
Alors :
. Et :
.
Rappel
Un hyperplan d'un espace vectoriel
de dimension
est un sous-espace vectoriel de
de dimension
.
Fondamental :
Propriétés :
Tout hyperplan de
est noyau d'une forme linéaire non nulle.Si
est une base de
, il admet une équation de la forme :
.Un sous-espace vectoriel de
est de dimension
si et seulement si il est intersection de
hyperplans noyaux de formes linéaires indépendantes.
Exemple :
Par exemple, l'ensemble des matrices de
de trace nulle est un hyperplan de l'espace vectoriel
.
Fondamental :
L'ensemble
des solutions d'un système de
équations linéaires homogènes à
inconnues est intersection de
hyperplans de
.
Le rang du système est
où
est la matrice du système.
