Cas de l'ensemble des réels
L'ensemble
est un corps totalement ordonné.
Définition :
L'ensemble des réels est archimédien :
.
La partie entière d'un réel
est le plus grand entier inférieur ou égal à
:
et
.
La partie fractionnaire d'un réel
est :
.
Fondamental :
Théorème des segments emboités :
Si
est une suite de segments emboités (
) de
tels que
, alors
est réduite à un point.
Conséquence : Si
et
sont deux suites réelles adjacentes (monotones de sens contraires, dont la différence tend vers 0), alors elles sont convergentes et admettent la même limite.
Fondamental :
Théorème de la borne supérieure (inférieure) :
Toute partie non vide majorée de
possède une borne supérieure :
et
.Toute partie non vide minorée de
possède une borne inférieure :
et
.
Conséquence :
Toute suite croissante majorée de réels est convergente.
Toute suite décroissante minorée de réels est convergente.
