Vocabulaire des applications
Définition :
Etant donnés deux ensembles non vides et , et une partie non vide de , on définit une relation binaire par : .
Cette relation binaire est :
une application de vers si, pour tout , il existe un unique tel que . On le note .
Si , l'élément de est l'image de par , et l'élément de est un antécédent de (il n'est pas toujours unique).
une fonction de vers si, pour tout , il existe au plus un tel que . S'il existe, on le note .
L'ensemble des éléments qui ont une image par la fonction est l'ensemble de définition de la fonction souvent noté .
Définition :
Soit est une application de dans .
• Si , la restriction de à est l'application notée de vers qui coïncide avec pour tout élément de : .
• Si , un prolongement de à est une application de vers telle que soit la restriction de à : .
La restriction est unique, mais pas le prolongement.
La restriction d'une fonction à son ensemble de définition est une application.
Définition :
Si est une application de dans et une application de dans , on appelle composée de par l'application de dans définie par : .
Fondamental :
Propriétés :
La composition des applications est associative : .
La composition des applications n'est pas commutative.