Vocabulaire des applications
Définition :
Etant donnés deux ensembles non vides
et
, et
une partie non vide de
, on définit une relation binaire
par :
.
Cette relation binaire est :
une application de
vers
si, pour tout
, il existe un unique
tel que
. On le note
.Si
, l'élément
de
est l'image de
par
, et l'élément
de
est un antécédent de
(il n'est pas toujours unique).une fonction de
vers
si, pour tout
, il existe au plus un
tel que
. S'il existe, on le note
. L'ensemble des éléments
qui ont une image par la fonction
est l'ensemble de définition de la fonction souvent noté
.
Définition :
Soit
est une application de
dans
.
• Si
, la restriction de
à
est l'application notée
de
vers
qui coïncide avec
pour tout élément de
:
.
• Si
, un prolongement de
à
est une application
de
vers
telle que
soit la restriction de
à
:
.
La restriction est unique, mais pas le prolongement.
La restriction d'une fonction à son ensemble de définition est une application.
Définition :
Si
est une application de
dans
et
une application de
dans
, on appelle composée de
par
l'application de
dans
définie par :
.
Fondamental :
Propriétés :
La composition des applications est associative :
.La composition des applications n'est pas commutative.
