Le point de a une cote égale à si et seulement si et c'est-à-dire : . La fonction exponentielle ne prenant que des valeurs strictement positives, on peut supposer .

Soit la fonction définie sur par ; étudions ses variations.

est le produit de fonctions dérivables sur donc est dérivable sur et

.

est du signe de qui est un trinôme dont les racines sont et .

Donc est croissante sur et décroissante sur et est le maximum de sur . Or donc, pour tout dans , on a et pour tout réel : et donc .

L'équation n'a pas de solution.