Si la surface est différentiable en , si les vecteurs

ne sont pas colinéaires, il existe un plan tangent à en .

Ce plan contient et les vecteurs .

Si les composantes de sont , l'équation de est

Le plan tangent à une surface en s'il existe, est un plan qui contient les droites tangentes à toutes les courbes tracées sur et passant par . Admettons que, sous les hypothèses du théorème, ce plan tangent existe, il suffit maintenant de 2 vecteurs pour le caractériser.

On définit les courbes et paramétrées par :

Ces courbes sont tracées sur la surface et elles passent par . Un vecteur tangent à en est le vecteur de composantes , or ce vecteur est le vecteur . De même un vecteur tangent \`a en est le vecteur . Donc les vecteurs et sont deux vecteurs non colinéaires du plan tangent, ce qui définit complétement ce plan