Etude des courbes paramétrées du plan
On veut étudier et représenter graphiquement une courbe du plan
dont les équations paramétriques sont :
.
L'étude se décompose en plusieurs étapes :
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Etude des domaines de définition des fonction
et
: la courbe est alors définie sur l'intersection de ces 2 domaines.
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Etude des symétries éventuelles :
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Si la fonction
est paire et la fonction
est impaire, la courbe est symétrique par rapport à l'axe
. On limite donc l'étude à l'intervalle
, puis on effectue la symétrie.
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Si la fonction
est impaire et la fonction
est paire, la courbe est symétrique par rapport à l'axe
. On limite donc l'étude à l'intervalle
, puis on effectue la symétrie.
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Si la fonction
est paire et la fonction
est paire, l'étude sur l'intervalle
permet d'obtenir toute la courbe.
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Si la fonction
est impaire et la fonction
est impaire, la courbe est symétrique par rapport à
. On limite donc l'étude à l'intervalle
, puis on effectue la symétrie.
Pour illustrer les propriétés précédentes faites une figure sur laquelle vous représenterez les points
et
dans chacun des cas cités.
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Etude des variations : Si les fonctions
et
sont dérivables, on calcule leurs dérivées. On dresse un tableau de variation où figurent les signes de
et les variations de
en fonction de
.
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Etude des branches infinies : si lorsque
tend vers
(ou vers l'infini),
ou
tend vers l'infini, on a une branche infinie. Plusieurs cas peuvent se présenter :
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Lorsque
tend vers
(ou vers l'infini),
tend vers l'infini et
tend vers
. On a alors une asymptote horizontale d'équation
. La position de la courbe par rapport à l'asymptote se déduit immédiatement du tableau de variation.
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Lorsque
tend vers
(ou vers l'infini),
tend vers
et
tend vers l'infini. On a alors une asymptote verticale d'équation
. La position de la courbe par rapport à l'asymptote se déduit immédiatement du tableau de variation.
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Lorsque
tend vers
(ou vers l'infini),
tend vers l'infini et
tend vers l'infini. Il n'est pas possible alors de conclure immédiatement. On doit effectuer une étude supplémentaire :
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Si
tend vers l'infini, on est dans le cas d'une branche parabolique d'axe
ou, ce qui est équivalent, d'une direction asymptotique d'axe
.
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Si
tend vers
, on est dans le cas d'une branche parabolique d'axe
ou, ce qui est équivalent, d'une direction asymptotique d'axe
.
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Si
tend vers
réel non nul, on effectue une étude supplémentaire :
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Si
tend vers l'infini et si on appelle
la droite d'équation
, on est dans le cas d'une branche parabolique d'axe
ou, ce qui est équivalent, d'une direction asymptotique d'axe
.
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Si
tend vers
, on a une asymptote d'équation
. Cette fois-ci la position de la courbe par rapport à l'asymptote n'est plus immédiate, il faut étudier le signe de
.
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Tracé de la courbe : on utilise toutes les informations recueillies précédemment. On peut également tracer les vecteurs tangents en certains points remarquables.