Tangente à une courbe du plan
définie par une équation implicite
Soit la courbe
caractérisée par une équation cartésienne implicite :
On suppose que
est différentiable en
. On note
On suppose que
, alors
est un vecteur orthogonal à
en
, d'où l'équation de la droite tangente à
en
:
Un vecteur orthogonal à une courbe
en un point
est un vecteur orthogonal au vecteur tangent à la courbe en ce point.
Si
a des équations paramétriques
, on a donc
On suppose que les fonctions
sont dérivables, donc la courbe
admet un vecteur tangent en
qui est
Appelons
la fonction d'une variable définie par
. Les résultats sur les dérivées des fonctions composées permettent de calculer la dérivée de
:
Donc en particulier
.
Or
On en déduit que le vecteur
est orthogonal à
, c'est à dire le vecteur
est orthogonal au vecteur tangent à
au point
. Si on note
la droite tangente à
au point
, on a donc :