Lorsque le domaine
n'est pas un rectangle on peut refaire le raisonnement du paragraphe référencé et ramener le calcul de l'intégrale double à celui de deux intégrales simples. La difficulté consiste à trouver les "bonnes" bornes de ces intégrales simples. On peut montrer que
où
Le segment
est la projection de
sur l'axe
et le segment
est la projection sur l'axe
de l'intersection de
avec la droite parallèle à l'axe
d'ordonnée
, comme le montre la figure. On peut dire aussi que les courbes
et
limitent respectivement le domaine
"à gauche" et "à droite".
Dans la formule on a commencé à intégrer
par rapport à
avant de l'intégrer par rapport à
. On peut échanger les rôles de
et
, ce qui donne :
Le segment
est la projection de
sur l'axe
et le segment
est la projection sur
de l'intersection de
avec la droite parallèle à l'axe
d'abscisse
comme le montre la figure. On peut dire aussi que les courbes
et
limitent respectivement le domaine "en haut" et "en bas".
Si
est une fonction impaire en
, c'est à dire
, si
est symétrique par rapport à la droite d'équation
, c'est à dire
, alors
En effet, si le domaine
est symétrique par rapport à
, cela signifie que
, faites une figure. Donc
