Soit le domaine du plan représenté sur la figure et considérons le domaine constitué des rectangles qui sont à l'intérieur de (voir figures pour des différents). Il est clair que si est un rectangle, alors .
fig4[Zoom...]
fig5[Zoom...]
fig6[Zoom...]
On définit alors une approximation de par
où est un point quelconque de . Chacun des éléments de cette somme représente le "volume" d'un parallépipède rectangle dont l'aire de la base est et dont la hauteur vaut . On a alors le résultat (non démontré) suivant
Théorème
Quand tend vers
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le domaine "tend" vers ,
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tend vers le réel , appelé l'intégrale double de sur et notée