On rappelle (voir chapitre 3) que l'intégrale d'une fonction
:
sur le segment
est construite par passage à la limite quand
de
ou, ce qui est équivalent, par passage à la limite quand
de
Soit
, on se propose de définir l'intégrale de
sur le rectangle
.
La construction de l'intégrale simple reposait sur le calcul d'une aire, celle de l'intégrale double est liée au calcul d'une mesure de volume (cela ne veut pas dire que toutes les intégrales doubles servent à calculer des volumes !).
Soient
et
deux entiers donnés, soit
et effectuons (voir la figure) un découpage du rectangle en rectangles élémentaires
On définit alors
On appelle intégrale double de
sur
et on note
la limite
L'intégrale double représente la mesure du volume limité par les plans
,
,
,
,
et la surface d'équation
, conformément à la figure
