Intégrale curviligne
Cours
Définition

Soit une courbe d'extrémités et , soit une abscisse curviligne, soit ( ) les coordonnées des points de en fonction de et soit , , les composantes du champ de vecteurs . Alors, par définition, la circulation du champ de vecteurs le long du segment curviligne est égale à :

On peut démontrer que la circulation définie précédemment ne dépend pas du choix de l'abscisse curviligne. Par contre

Souvent dans la pratique on ne connaît pas mais seulement une paramétrisation de , , on effectue alors un changement de variables dans l'intégrale qui définit la circulation, on a en effet : et des relations similaires pour et . On obtient :

Proposition

Si est une courbe d'extrémités et , paramétrée par et si , , sont les composantes du champ de vecteurs ,

alors la circulation du champ de vecteurs le long du segment curviligne est égale à :

On peut garder pour la circulation la notation que l'on avait introduit pour le travail dans le paragraphe précédent, d'autres notations sont couramment utilisées.

Notations

. Toutes ces expressions représentent la circulation du champ de vecteurs le long du segment curviligne et se calculent par l'intégrale simple \ref {circulation}.