On définit
.
On définit
,
on note
le bord de
orienté dans le sens trigonométrique direct.
Faire une figure représentant
.
Calculer
. (réponse :
)
Il faut paramétrer
, donc il faut paramétrer
puis
.
Pour
:
.
Pour
:
.
Utiliser la proposition \ref {circ} pour en déduire
.
Après calculs on obtient :
Calculer
Exprimer l'intégrale double sur
à l'aide d'intégrales simples, aidez-vous de la figure.
Calculez
d'où
D'où le résultat.
On définit
.
On définit
, on note
le bord de
orienté dans le sens trigonométrique direct.
Faire une figure représentant
.
est le disque de centre
et de rayon
.
Calculer
.
Il faut paramétrer
,
est un cercle.
.
Utiliser la proposition
pour en déduire
.
L'intégrale entre
et
de
est nulle, faire le changement de variable
pour s'en convaincre. On linéarise les autres termes :
On n'oublie pas que l'intégrale d'un sinus ou d'un cosinus sur sa période est nulle, on obtient finalement :
Calculer
Exprimer l'intégrale double sur
à l'aide d'un changement de variables.
Calculez
On peut utiliser les coordonnées polaires
et
centrées en
, cela simplifie la fonction à intégrer.
On peut également utiliser les coordonnées polaires
et
centrées en
, cela simplifie le domaine d'intégration.
On obtient avec les coordonnées polaires centrées en
:
On obtient avec les coordonnées polaires centrées en
:
Bien sûr on obtient le même résultat dans les 2 cas :
