On appelle équation différentielle du premier ordre une équation de la forme
où
est donnée et où la fonction
définie et dérivable de
dans
est l'inconnue. Une telle fonction
vérifiant
est appelée solution de l'équation différentielle.
En fait
peut être
ou une partie de
. Soit, par exemple, l'équation différentielle
Elle admet les solutions
(le vérifier) définies sur
. Si,on la met sous la forme de la définition précédente :
et elle n'est pas définie en
. Elle admet alors pour solutions
En fait l'écriture
n'est pas nécessairement la forme sous laquelle apparait "naturellement'' l'équation différentielle.
Un cas particulier très simple est la recherche des primitives
d'une fonction
. En effet on résout alors
dont les solutions sont données par
(
est le nom générique d'une constante quelconque). On remarque qu'il y a une infinité de solutions à l'équation différentielle
dépendant d'une constante arbitraire.
De manière générale, il y a une infinité de solutions à une équation différentielle du premier ordre. On appelle courbe intégrale ou courbe solution l'ensemble des points
où
est une solution de l'équation différentielle. Il y a donc une infinité de courbes intégrales correspondant à une équation différentielle du premier ordre.