Convergence d'une suite dans un espace vectoriel normé
Dans ce qui suit,
désigne un espace vectoriel normé, dont la norme est notée :
.
Définition :
Une suite
d'éléments de
est convergente s'il existe un élément
tel que :
.
Une suite
d'éléments de
est divergente si elle n'est pas convergente, donc si :
.
Fondamental :
Propriétés :
Si une suite converge vers
pour une norme, elle converge vers
pour toute norme équivalente.Si une suite diverge pour une norme, elle diverge pour toute norme équivalente.
Si une suite
converge vers
, alors sa limite
est unique.L'ensemble des suites convergentes de
est un espace vectoriel et l'application qui à toute suite convergente associe sa limite est linéaire.Toute suite convergente est bornée.
Mais une suite peut être bornée sans être convergente.
Définition :
On appelle suite extraite de
toute suite de la forme
où
est une application strictement croissante de
dans
.
Si une suite
converge vers
, alors toute suite extraite converge vers
.
Mais la convergence d'une suite extraite ne prouve pas la convergence de la suite.
Si deux suites extraites convergent vers deux limites distinctes, la suite diverge.
Fondamental :
Théorème de Bolzano-Weierstrass : De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente.
Définition :
Une suite
d'éléments de
est une suite de Cauchy si :
.
Fondamental :
Propriétés :
Toute suite de Cauchy est bornée.
Toute suite de Cauchy qui possède une suite extraite convergente est convergente.
Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
Mais la réciproque est fausse : une suite peut vérifier le critère de Cauchy sans être convergente.
Définition :
Un espace vectoriel normé est complet si toute suite de Cauchy est convergente.
Une partie
d'un espace vectoriel normé est une partie complète si toute suite de Cauchy d'éléments de
converge dans
.
Fondamental :
Tout espace vectoriel normé de dimension finie sur
ou
est complet.
En particulier, une suite de réels ou de complexes est convergente si et seulement si c'est une suite de Cauchy.
