Comparaison locale de fonctions
Soient
et
deux fonctions définies au voisinage de
.
Définition :
La fonction
est négligeable devant la fonction
au voisinage de
s'il existe une fonction
définie au voisinage de
qui vérifie :
et
.
Notation :
ou
.
Si la fonction
ne s'annule pas au voisinage de
, alors
si et seulement si :
.
Fondamental :
Conséquence pour les limites
Si
et si
(réel), alors
.Si
et si
(réel non nul ou infini), alors
.
Par contre, si
et si
, on ne peut pas conclure pour la limite de
.
De même si
, on ne peut pas conclure à une négligeabilité.
Fondamental :
Propriétés :
Si
et si
, alors
.Si
et si
, alors :
.Si
et si
, alors :
.Si
, alors
pour tout réel
.
Attention :
La relation de négligeabilité n'est compatible ni avec la composition des fonctions, ni avec le quotient (et donc pas avec les puissances négatives).
Fondamental :
Négligeabilités usuelles
Définition :
La fonction
est équivalente à la fonction
au voisinage de
s'il existe une fonction
définie au voisinage de
qui vérifie :
et
.
Notation :
ou
.
Donc
si et seulement si
.
Si la fonction
ne s'annule pas au voisinage de
, alors
si et seulement si :
.
Fondamental :
Conséquences pour les limites
Si
et si
, alors
(avec
réel ou infini).Si
(réel non nul), alors :
.
Mais on ne peut pas conclure à une équivalence si
ou si
.
Par exemple
, mais
et
ne sont pas équivalents.
Fondamental :
Propriétés :
Si
, alors
(symétrie).Si
et si
, alors
(transitivité).Si
et si
, alors
.Si
et si
, alors
(s'ils sont définis).Si
, alors
pour tout réel
.
Attention :
La relation d'équivalence n'est compatible ni avec la composition des fonctions, ni avec la somme.
Fondamental :
Equivalences usuelles
