Exo 9
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soit .
Question
Réduire la matrice : .
Diagonalisez la matrice ou, si ce n'est pas possible, déterminez une matrice triangulaire semblable à la matrice .
On remarque que vérifie .
Il existe tel que : . Donc : .
Donc : . Donc le polynôme est un polynôme annulateur de .
Donc : .
Supposons . Le polynôme annulateur est scindé à racines simples. Donc est diagonalisable.
Et car les colonnes sont liées : .
Et de même en remplaçant par .
Donc : . Donc le polynôme caractéristique de a pour racines et .
Or , donc les deux racines ont le même ordre de multiplicité, donc .
Conclusion : Si et , la matrice est semblable à la matrice .
Supposons . Donc , donc , et donc .
Donc est diagonalisable si et seulement si , donc si .
Conclusion : Si , alors .
Supposons et . Donc n'est pas diagonalisable. Soit l'endomorphisme de matrice .
car . Donc, d'après le théorème du rang : , donc .
Or , donc ou .
Si , les vecteurs colonnes de seraient colinéaires, donc on aurait , ce qui est exclu.
Donc et . Donc .
Soit un sous-espace vectoriel supplémentaire de . Il est donc de dimension .
Soit une base de , et soient et .
si et seulement si . Or .
Donc si et seulement si , donc si car est libre.
Donc et forment une famille libre, donc une base de .
Donc est une base de et la matrice de dans est .
Conclusion : Si et , la matrice est semblable à .