Eléments propres d'une matrice carrée
Dans ce qui suit, désigne un espace vectoriel de dimension .
Fondamental :
Un scalaire est valeur propre d'une matrice carrée de si la matrice n'est pas inversible, donc si : .
est vecteur propre de la matrice associé à la valeur propre si : et .
Définition :
Le polynôme caractéristique d'une matrice de est le polynôme : .
Donc les valeurs propres de la matrice sont les racines de son polynôme caractéristique.
Fondamental :
Propriété : Si un endomorphisme a pour matrice dans une base de , les valeurs propres de sont les valeurs propres de l'endomorphisme , et les vecteurs propres de sont les matrices des vecteurs propres de dans la base considérée.
Conséquence : Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres et le même polynôme caractéristique.
Le polynôme caractéristique dépend donc de l'endomorphisme, et pas de la base considérée.