Matrice d'une application linéaire
Tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
Définition :
Soient
une base de
et
une base de
.
La matrice d'une application linéaire
de
dans
est la matrice
définie par :
.
La matrice dépend évidemment des bases
et
.
Fondamental :
Si
est la matrice colonne des coordonnées d'un vecteur
de
dans la base
, le vecteur
a pour matrice
dans la base
.
Fondamental :
Opérations
Soient
et
deux applications linéaires de matrices
et
. Sous réserve d'existence :
. 
. 
.-
est bijective si et seulement si
est inversible et
.
Fondamental :
Changement de base
Soit
un endomorphisme de
.
Si
est la matrice de passage d'une base
de
à une base
de
, les matrices
de
dans
et
de
dans
vérifient :
.
Les matrices
et
sont dites semblables.
Alors :
,
et
.
Définition :
On définit donc :
la trace d'un endomorphisme :
où
est la matrice de
dans une base quelconque.le déterminant d'un endomorphisme
:
où
est la matrice de
dans une base quelconque.le rang d'un endomorphisme :
où
est la matrice de
dans une base quelconque.
