Exo 8
Commencez par chercher à résoudre l'exercice par vous-même.
Si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Soient et deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel tels que .
Soit un supplémentaire de dans .
Question
Démontrer que et sont supplémentaires dans .
Démontrez successivement que , puis que la somme est directe.
Montrons successivement que , puis que la somme est directe.
Soit . Il existe et tels que : car .
Or : . Donc il existe et tels que : .
Donc : avec et . Donc : .
Or : . Donc : .
De plus : , donc . Donc : .
Or la somme est directe, donc .
Donc : .
Conclusion : et sont supplémentaires dans .